Di origine livornese, studiò matematica presso l'Università e la Scuola Normale Superiore di Pisa sotto la guida di Enrico Betti (1823-1892) e Ulisse Dini (1845-1918). Laureatosi nel 1891, ottenne dopo pochi anni la cattedra di Geometria proiettiva e descrittiva presso l'Università di Bologna e, nel 1922 fu chiamato a ricoprire la cattedra di Matematiche Superiori di Roma. Di religione ebraica, dovette abbandonare l'incarico nel 1938 in seguito alla promulgazione delle leggi antiraziali, per essere reintegrato solo pochi mesi prima della morte. Tra i fondatori della scuola italiana di geometria algebrica, Enriques allargò gli orizzonti del dibattito scientifico occupandosi anche di filosofia e di storia della scienza. Nel 1907 fondò la rivista internazionale Scientia e nel 1911, in qualità di presidente della Società filosofica italiana, da lui fondata nel 1906, organizzò a Bologna il IV congresso internazionale di filosofia. Tra il 1922 e il 1934 fu presidente della Società italiana Mathesis della quale diresse, fino al 1946, il Periodico di Matematiche. Fu, inoltre, collaboratore dell'Enciclopedia Italiana, soprintendendo alla stesura della sezione di matematica.